63.全球昼夜时间的计算公式
严腾飞同学只是问李轩一个偏向脑筋急转弯的数学问题，但是没想到李轩从一个小问题联想到一个大问题。 李轩在草稿上画的球体，上面标着太阳光线、赤道、地轴、晨昏线，写着字母NSMBO，严腾飞看得好奇，情不自禁地问：“李轩大神，你在干什么？” 李轩解释道：“我在考虑蜗牛爬行速度在夜晚和白天一样的时候，蜗牛几天才能爬出，因为想到全球各地的黑夜白天时间不一样，就想把这个黑夜白天时间算出来。” “有结果了吗？”严腾飞此刻只有佩服，高中地理还没学到晨昏线，看着李轩的计算过程就感觉到高深。 “有结果，算出来了。”李轩点头。 利用球的性质，过直射点的太阳光线必经过地心，并且垂直于晨昏线，可得到计算昼长的三角关系，主要关系得到了，此外的工作就是计算化简。 这时梁智慧站在李轩身旁，看清了李轩计算的全过程，也在思考，最后说：“李轩，你这个式子有些复杂，应该简化下。” 李轩也在考虑简化。 这个式子不符合数学对自然规律描述的简洁之美，物理课本上的数学公式都是很简洁，李轩考虑把其中两个未知量凑成一个未知量，回到画的参考的地球球体上，最后他发现似乎真能化简。 先引进当地正午太阳高度H。 由几何关系，当地正午太阳高度H，等于当地纬度，减去太阳直射点纬度加上90°。 代入化简，昼长公式的表达形式可以变为f=2/15°arccos(tanφcot（φ H）)。 这样就很简洁。 昼长问题就解决了，成了定量分析，自然规律在数学上总显得特别简洁，李轩感觉奇妙，物理上的各种方程式也是十分简洁，是巧合？ 想不明白，但不妨碍李轩去体会科学之美。 现在唯一的疑问是公式是否正确？ 对吗？ 李轩不知道，决定验证一下。 在特殊情况，赤道上纬度是0°，由几何关系求出未知量，得到具体值后代入公式，正好可以算出昼长为12小时。 另一个特殊情况，羊城纬度是22°，计算夏至日和冬至日，公式可以算出昼夜时间长短正好相反。 最后特殊情况，南北极圈的昼长在夏至日，计算结果也为0小时。 李轩验证了三个特殊情况，和实际情况都符合，都没发现公式问题，再看了公式建立的过程，规定了未知量的取值范围。 所有问题就搞定了。 梁智慧看了李轩的计算工程，几遍都没看出毛病，内心充斥着敬佩和难以言说的怅然，越和李轩相处久了越感觉不如李轩，这种滋味并不好受。 严腾飞真的对李轩服气了：“大神，你也太牛了吧，如果你的这个公式没错，最重要的关系式找到了，蜗牛爬行的问题就简单了。不过如果蜗牛白天向上爬和夜晚往下爬，速度不一样比较合理吧。” 李轩笑了笑：“嗯，不过速度的差别还好，并不是关键，只要算出白天和黑夜的时间，剩下的问题不过是速度乘时间的问题，难的地方还是黑夜和白天的时间。” “也是。” 严腾飞不知该怎么说了，和李轩相比较，在数学上他感觉他就像还在玩泥巴的孩子，李轩已经是自己找问题来提升自己的阶段了。 …… 晚自习开始不久，赵东明走进了数学竞赛组的自习室，其实是路过时候顺便来看下学生有没有什么问题，进来就看到了严腾飞和梁智慧围着李轩。 学生上自习随意走动，赵东明没计较，竞赛班讨论问题是很好的现象，学生知道请教数学最厉害的李轩，他高兴都来不及。 赵东明走了过去，有点奇怪：“怎么了？” “老师，李轩太牛了。”严腾飞有点激动，“他从一个我问的数学问题联想，竟然把昼夜长短计算公式给算出来了。” 赵东明轻轻一怔，听严腾飞这么说，了解了事情的经过，最后拿起李轩的草稿纸，整个人傻眼了。 李轩的思维发散能力，和数学建立模型能力，让他震惊。他学了数学多少年了，也没像李轩这样，用数学当作工具建立数学模型，去解决这样问题。 赵东明有点感慨：“算得不错，数学就是要这样学，数学就是要解决生活中的问题。” 这公式有什么用呢？ 有了这个公式，再编写一个小程序，只要能输入所在地的纬度，通过日期查询太阳直射点纬度，昼夜时间就可以直接由程序输出。 或者再高科技一些，给一个定位系统去直接判定当地纬度，那当地什么时候天亮什么时候天黑就可以知道了。想知道什么时候看日出，不用提早时间去等待，直接抓住时间点来就好了。 赵东明越想越觉得这个公式妙，片刻之后，忽然舒了口气，说：“李轩，写成小论文投稿吧，投到数学报刊上去。” “啊？”李轩讶异，“老师，这种高中生都会算的问题，杂志会收？” 作为高中生的严鹏飞听了：“…………” 赵东明笑了笑，说：“当然会收，你这个公式很有意思，论文又不是一定非得要高大上，让普通人都看不懂，有些数学杂志就喜欢收这些和实际生活联系比较紧密的数学论文。” 李轩：“那我要怎么写？” 赵东明：“你就把公式的推导，公式的意义，公式的应用，这些写一写。扯淡会吧，凑字数凑到三千字，当然，在此之前，先想好一个标题。” 李轩想了想，耿直地说：“老师，题目叫：论蜗牛白天向上爬和夜晚往下爬，能不能爬出井口？” 梁智慧：“……” 严腾飞摇了摇头：“不好，标题短一些比较好，比如蜗牛能爬出井口？” 赵东明呛了一声，没好气说：“把蜗牛给我从这个论文中去掉！谁特么管蜗牛爬上爬下，是蜗牛德的沦丧，还是蜗牛性的扭曲，都无所谓。你这篇论文，一个字都不许写蜗牛，题目就叫作《全球各地的昼夜时间计算公式》。” “老师，我感觉写论文好麻烦，要不就算了？”李轩有些不想动笔，有这时间还不如多做一道数学题。 赵东明沉默了片刻，说道：“有稿费。” “好咧。” 李轩一瞬间就拿起笔写了起来，“老师，稍微等一下，晚上我就立即写完。” 梁智慧：“………”